28151代数初步（自考资料）

高纲0888
 
28151　代数初步
 
江苏教育学院编

一 课程性质及其设置目的与要求

（一）课程性质与特点
代数初步是理工科专业重要的基础课程之一,是学习其他现代科学技术的必备基础,在科学研究和各行各业中有广泛的应用。同时，该课程对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和想象能力具有重要的作用。
（二）课程设置目的与要求
课程内容包括：行列式，线性方程组，矩阵的代数运算，矩阵相似与二次型，线性空间与线性变换的概念等。
设置目的与要求:使学员掌握线性代数的基础知识和基础理论,熟悉本课程中所涉及的重要数学思想方法,为今后学习其它学科打下基础。
 

二 课程内容与考核目标

第一章    行列式
 
(一)课程内容　　
1．二阶与三阶行列式；
2．全排列、排列的逆序数与奇偶性、对换；
3．n阶行列式的定义；
4．行列式的性质；
5．行列式按行(列)展开；
6. 克拉默法则。
    (二)学习与考核要求
1．熟练计算排列的逆序数并判别排列的奇偶性；
2．掌握n阶行列式的定义；
3．利用行列式的定义、性质、按一行(列)展开,熟练计算行列式；
4．利用克拉默法则解线性方程组。
 
第二章  矩阵及其运算
 
    (一)课程内容　　
1．矩阵的概念；　　
2．矩阵的运算；
3．逆矩阵；
4．矩阵分块法。
(二)学习与考核要求
1．掌握矩阵的概念,理解其应用背景； 
2．掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的行列式等概念及其运算性质, 熟练而准确地进行矩阵的运算；
3．掌握逆矩阵的概念,可逆矩阵的性质与判别，熟练运用求逆公式；
4．了解矩阵的分块法及其应用。
 
第三章  矩阵的初等变换与线性方程组
 
     (一)课程内容　
1．矩阵的初等变换、矩阵间的等价关系；
2．初等矩阵、方阵可逆的充分必要条件、用初等变换求逆矩阵；
3．子式、矩阵的秩、秩的性质、用初等变换求矩阵的秩；
4．线性方程组解的充分必要条件。
     (二)学习与考核要求　
1．掌握矩阵初等变换的定义，熟练地进行矩阵的初等变换；
2．了解初等矩阵与矩阵初等变换的关系；
3．掌握方阵可逆的充分必要条件,熟练地用初等变换求逆矩阵；
4．掌握矩阵的秩的概念，性质及求法；
5．掌握线性方程组无解、有惟一解、有无限多解的充分必要条件, 熟练地求解齐次与非齐次线性方程组。
 
第四章   向量组的线性相关性
 
      (一)课程内容　　
1．向量组及其线性组合、向量组等价；
2．线性相关、线性无关、向量组线性相关的充分必要条件、向量组线性相关性的有关结论；
3.向量组的最大无关组、向量组的秩；
4.齐次线性方程组的基础解系、线性方程组解的性质及结构；
5. 向量空间、子空间、向量空间的基与维数。
     (二)学习与考核要求
1．掌握向量组的线性组合、向量组等价等概念,会用向量组表示某个向量；
2．掌握向量组线性相关、线性无关的概念以及线性相关、线性无关的判别与证明的方法,理解向量组线性相关性的有关结论；
3. 掌握向量组的最大无关组与秩的概念,会求向量组的最大无关组与秩,并用最大无关组表示其余向量；
4.掌握线性方程组解的性质及其证明方法, 熟练地求齐次线性方程组的基础解系和用导出组的基础解系表出方程组的通解；
5. 掌握向量空间、子空间、生成子空间等概念,会判别向量空间,理解生成子空间的作用；
6. 掌握向量空间的基、维数与坐标的概念,会验证基及求向量的坐标。
 
第五章    相似矩阵及二次型
     (一)课程内容　　
1．向量的内积、长度、夹角、正交化、正交矩阵；
2．特征值与特征向量；
3. 相似矩阵、矩阵对角化的条件、对称矩阵的对角化；
4. 二次型、矩阵合同、二次型的标准形、正定二次型；
     (二)学习与考核要求
1．熟练计算向量的内积、长度、夹角, 熟练掌握施密特正交化法, 掌握正交矩阵的概念与性质；
2．熟练掌握特征值与特征向量的概念与性质、熟练计算特征值与特征向量；
3. 掌握相似矩阵的概念与性质,会判别矩阵对角化, 熟练用正交相似变换化对称矩阵为对角矩阵；
4. 熟练掌握用正交变换与配方法化二次型为标准形。
 
第六章   线性空间与线性变换
   (一)课程内容　　
1．线性空间的定义与性质；
2．线性空间的维数、基与坐标；
3.基变换与坐标变换；
4.线性变换及其表示。
   (二)学习与考核要求
1．掌握线性空间的定义与性质；
2．掌握常见线性空间的基与维数,会求坐标；
3.掌握基变换公式与坐标变换公式；
4.掌握线性变换的概念与性质,会求简单的线性变换的矩阵。

三、有关说明和实施要求

(一)关于“课程内容与考核目标”中的有关说明
在大纲的考核要求中，提出了“理解”、“掌握”、“熟练掌握”等不同的要求，   
具体是理解：要求应考者能够记忆有关知识点的主要内容，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系；掌握：要求应考者掌握有关的知识点，正确理解和记忆相关内容的原理、方法及计算等；熟练掌握：要求应考者必须掌握的课程中的核心内容和重要知识点并熟练计算。
(二)选用教材
《工程数学–线性代数》,同济大学应用数学系 编,高等教育出版社（2 0 0 3年 ）。教材中第六章加*的内容要求相对降低一些。
(三)自学方法的指导
    本课程作为一门基础课程，抽象性强、内容多、难度大，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
    1．学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，熟悉课程的性质和基本要求。在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点和考核要求，以便在阅读教材时做到心中有数。
    2．阅读教材时，应根据大纲要求，逐段细读，逐句推敲，吃透每个知识点。对基本概念必须深刻理解，基本原理必须牢固掌握。
3．学完教材的每一章节内容后，应认真完成教材中的习题，这一过程可有效地帮助自学者理解、消化和巩固所学的知识，增强分析问题、解决问题的能力。
(四)对社会助学的要求
    1．应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点,掌握并理解各知识点的考核要求。
   2．对应考者进行辅导时，应以指定的教材为基础，以考试大纲为依据，不要随意增删内容，以免与考试大纲脱节。
   3．辅导时应该对应考者进行学习方法的指导，提倡应考者“认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动提出问题，依靠自己学懂”的学习方法。
   4．辅导时要注意基础、突出重点，要帮助应考者对课程内容建立一个整体的概念，对应考者提出的问题，应以启发引导为主。
   5．注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导应考者逐步学会独立学习，在自学过程中善于提出问题、分析问题和解决问题。
  (五)关于命题和考试的若干规定
    1．本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
   2．试题难度结构要合理, 记忆、理解、综合性试题比例大约为3：5：2。
   3．本课程考试试卷采用的题型有：单项选择题、填空题、计算题和证明题(见附录题型示例)。
4．考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟。评分采用百分制，60分为及格。
 
附录   题型举例
一、单项选择题
 
设矩阵A的秩为r₁, 矩阵B的秩为r₂, 矩阵AB的秩为r₃, 则       (  D   )
  A.   r₃ > min{ r₁, r₂}          B.    r₃ ³ min{ r₁, r₂}  
C.   r₃< min{ r₁, r₂}           D.    r₃ £ min{ r₁, r₂}  
二、填空题
三、计算题
四、证明题
设A与B都是n阶正交矩阵，证明：AB也是正交矩阵。