02032高等数学（教材大纲）（自考资料）

高纲0873
 
02032　高等数学（三）
 
江苏教育学院编

    一、课程性质、目的

    本课程是为物理学专业学生开设的必修课。内容涉及线性代数、矢量分析、场论、概率论的基本理论和方法，通过本课程的教学，应达到如下目的和要求：

    1.系统地讲授线性代数、矢量分析、场论、概率论的基本理论和方法，为学生学习后续物理专业课程提供扎实的数学基础

    2.重视讲授内容与相关物理问题相结合，提高学生运用所学的数学知识分析实际物理问题的能力

 
    二、考试内容、要求
    第一部分 《矢量分析与场论》

    第一章 矢量分析

    一． 要求：

    1． 了解矢性函数的概念。

    2． 熟练掌握矢性函数的求导、不定积分、定积分的基本运算规律。

    3． 理解导矢的几何意义。

    二． 考试内容

    1． 矢性函数的导数。

    2． 矢性函数的不定积分。

    3． 矢性函数的定积分。
    第二章 场论

    一． 要求

    1． 理解数量场的等值面概念，掌握求等值面方程的方法。

    2． 理解矢量场的矢量线概念，掌握求矢量线方程的方法。

    3． 理解方向导数的概念。

    4． 理解梯度的概念，熟悉梯度的性质及基本公式。

    5． 理解通量的概念，会求通量。

    6． 理解散度的概念，熟练掌握散度运算的基本公式。

    7． 理解环量的概念，会求环量。

    8． 理解环量面密度的概念。

    9． 理解旋度的概念，熟悉旋度与环量面密度之间的关系，掌握旋度运算的基本公式。

    10. 熟悉有势场的性质，掌握求势函数的方法。

    11. 熟悉管形场的性质，了解求矢势量的方法。

    12. 熟悉调和场的性质。

    二． 考试内容

    1． 等值面方程、矢量线方程。

    2． 方向导数与梯度。

    3． 通量与散度。

    4． 环量、环量面密度与旋度。

    5． 有势场、管形场、调和场。

    第三章 哈米尔顿算子

    一、 要求

    1 熟悉▽算子的性质（①算符性；②矢量性）

    2 会用▽算子表示梯度、散度、旋度、调和量。

    3 会利用▽算子导出公式。

    二． 考试内容

    1． 利用▽算子导出公式
    第四章 梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表达式
    一、 要求

    1 知道什么是正交曲线坐标系。

    2 知道拉梅系数的表达式。

    3 知道在正交曲线坐标系中弧微分、面积元素、体积元素的表示式。

    4 熟悉球坐标系和柱坐标系中的拉梅系数。

    5  知道球坐标系和柱坐标系中梯度、散度、旋度、调和量的表示式。

    二． 考试内容

    1． 球坐标系和柱坐标系中弧微分、面积元素、体积元素的表示式。

    2． 球坐标系和柱坐标系中梯度、散度、旋度、调和量的表示式。
    第二部分 《线性代数》

    第一章 行列式

    一． 要求

    1． 知道全排列的奇偶性及逆序数的定义。

    2． 了解n阶行列式的定义。

    3． 能熟练运用行列式的性质计算行列式。

    4． 了解代数余子式概念，并能熟练按行（列）展开行列式。

    5． 熟悉克莱姆法则，并能熟练运用。

    二． 考试内容

    1． 求排列的逆序数，判断排列的奇偶性。

    2． n阶行列式的运算（包括行列式计算、化简、降阶）。

    3． 运用克莱姆法则解线性方程组。
    第二章 矩阵及其运算

    一． 要求

    1． 熟悉线性变换与矩阵的对应关系。

    2． 熟练掌握矩阵运算（加法、数乘、矩阵相乘、转置、取共轭）的基本性质。

    3． 熟悉逆矩阵的概念，逆矩阵存在的充要条件，能利用公式求方阵的逆矩阵。

    4． 知道矩阵分块法，掌握分块矩阵的运算规则。

    二． 考试内容

    1． 矩阵运算（加法、数乘、矩阵相乘、转置、取共轭、分块矩阵运算）

    2． 求逆阵。

    3． 利用矩阵运算求线性变换，解线性方程组。
    第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

    一． 要求
    1 理解初等变换的概念

    2 理解两矩阵等价的概念。

    3 理解初等方阵的概念

    4 了解初等变换与初等方阵的关系。

    5 理解矩阵的秩的概念，知道等价矩阵的秩相等

    6 掌握利用初等变换求逆阵的方法。

    7 熟悉齐次线性方程组有非零解的充要条件。

    8 熟悉非齐次线性方程组有解的充要条件。

    9 掌握利用初等变换求解线性方程组的方法。
    二． 考试内容

    1  矩阵的秩

    2 利用初等变换求逆阵。

    3 利用初等变换求解线性方程组
    第四章 向量组的线性相关性

    一． 要求

    1． 理解n维向量的概念。

    2． 理解向量组的线性相关性的概念。

    3． 知道如何判断向量组的线性相关性。

    4． 理解两向量组等价的概念,了解两者的联系。

    5． 理解向量组的秩的概念

    6． 掌握求向量组的最大无关组的方法。

    7 了解什么是向量空间、向量空间的维数、向量空间的基

    8 理解齐次线性方程组的解空间的概念。

    9 熟悉齐次线性方程组通解的结构。

    10 熟悉非齐次线性方程组通解的结构。
    二． 考试内容

    1． 判断向量组的线性相关性。

    2． 向量组的秩。

    3  求向量组最大无关组

    4． 解齐次线性方程组。

    5． 解非齐次线性方程组。
    第五章 相似矩阵及二次型

    一． 要求

    1． 了解向量内积的概念，掌握内积的运算规律。

    2． 了解正交向量组的线性相关性。

    3． 知道如何将线性无关向量组正交规范化。

    4． 熟悉正交矩阵的性质，正交变换的特点。

    5． 熟悉方阵的特征值、特征向量、掌握求特征值、特征向量的方法。

    6． 知道不同特征值对应的特征向量是线性无关的。

    7． 知道方阵与它的相似矩阵具有相同的特征值。

    8． 知道方阵能对角化的充要条件。

    9． 了解实对称方阵的性质。

    10 知道什么是二次型的标准形，二次型总能化成标准形。

    二． 考试内容

    1． 向量的内积。

    2． 将线性无关向量组正交规范化。

    3． 正交阵和正交变换。

    4． 方阵的特征值、特征向量。

    5． 实对称方阵的对角化。


    第三部分 《概率论》

    第一章 预备知识

    一． 要求

    1． 熟练掌握求排列、组合种数的公式。

    2． 了解集合的概念。

    3． 了解集合之间的关系，集合的运算。

    4． 知道集合中各种符号的含义。

    二． 考试内容

    1． 排列、组合问题的应用题。

    2． 集合之间的关系，集合的运算。
    第二章 随机事件

    一． 要求

    1． 理解随机事件的概念。

    2． 了解事件间的关系及运算。

    3． 理解基本空间的概念。

    二． 考试内容

    1． 事件间的关系及运算。
    第三章 随机事件的概率

    一． 要求

    1． 熟悉古典概型事件的特征。

    2． 熟悉概率的古典定义。

    3． 了解几何概率的定义。

    4． 能熟练求出古典概型事件的概率，会求事件的几何概率。

    5． 了解有关概率的三条公理，了解概率的一般定义。

    6． 熟悉概率的基本性质。

    二． 考试内容

    1． 求事件的概率。
    第四章 条件概率、事件的相互独立性及试验的相互独立性

    一． 要求

    1． 理解条件概率的概念。

    2． 熟悉概率的乘法定理。

    3． 能熟练运用全概率公式。

    4． 理解事件相互独立的含义。

    5． 会用乘法定理判断两事件是否相互独立。

    6． 能熟练运用乘法定理计算相互独立事件的积事件的概率。

    7． 熟悉重复独立试验，熟练掌握二项概率公式。

    二． 考试内容

    1． 运用全概率公式求概率。

    2． 求相互独立事件的积事件的概率。

    3． 求重复独立试验中某试验结果发生的概率。
    第五章 一维随机变量

    一． 要求

    1． 理解随机变量的概念。

    2． 熟悉一维随机变量分布函数的基本性质。

    3． 了解离散型随机变量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。

    4． 熟悉二项分布，能判断随机变量是否服从二项分布，并能求出其分布密度。

    5． 熟悉泊松分布，能判断随机变量是否服从泊松分布，并能求出其分布密度。

    6． 知道二项式分布与泊松分布之间的联系。

    7． 了解连续型随机变量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。

    8． 熟悉正态分布及正态分布密度函数的形式和基本性质。

    9． 熟悉正态分布与标准正态分布的关系。能熟练求出服从正态分布的随机变量在某一区间上取值的概率。

    二． 考试内容

    1． 求离散型随机变量的分布函数、分布密度。

    2． 求离散型随机变量在某区间上取值的概率。

    3． 求服从正态分布的随机变量在某区间上取值的概率。
    第六章 二维随机变量

    一． 要求

    1． 了解什么是二维随机变量。

    2． 了解二维分布密度（包括连续型和离散性）的基本性质。

    3． 熟悉二维正态分布。

    4． 了解什么是二维随机变量的边缘分布。掌握求随机变量（包括离散型和连续型）的边缘分布密度的方法。

    5． 知道随机变量相互独立的含义。知道随机变量（离散型、连续型）是否相互独立的条件。
    二． 考试内容

    1． 求随机变量（包括离散型、连续型）的边缘分布密度。

    2． 求离散型随机变量的分布密度。

    3． 随机变量的相互独立性。
    第七章 随机变量的函数及其分布

    一． 要求

    掌握求一维随机变量函数，二维随机变量函数的分布密度的方法。

    二． 考试内容

    1． 求随机变量函数的分布密度。
    第八章 随机变量的数字特征

    一． 要求

    1． 知道随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差）的作用。

    2． 会求随机变量的数学期望、方差、标准差。熟悉它们的基本性质。

    3． 熟悉正态分布和泊松分布的数学期望、方差。

    二． 考试内容

    1． 求随机变量的数学期望。

    2． 求随机变量的方差、标准差。

    

    说  明

    考试成绩每部分各占三分之一。

    选用教材意见

    1．《工程数学：矢量分析与场论》，谢树艺编，高等教育出版社出版（1985年3月第二版）

    2．《工程数学：线性代数》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社出版（2003年7月第四版）

    3．《工程数学：概率论》，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社出版（1982年10月第一版）