2015年考研数学模拟试卷（含答案）
一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在
题后的横线上．
1．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN"表示"M的充分必要条件是N"，则
必有______．
A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数
B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数
C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数
D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数
2．设函数f(z)在x=0处连续，下列命题错误的是______．
3．设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处______．
A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导
4．设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于______．A．-e-xf(e-x)-f(x)B．-e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)-f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)
5．设f(x，y)为连续函数，则(rcosθ，sinθ)rdr等于______．
6．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是______．A．y"'+y"-4y'-4y=0B．y"'+y"+4y'+4y=0C．y"'-y"-4y'+4y=0D．y"'-y"+4y'-4y=07．已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f'(x)严格单调减少，且f(1)=f'(1)=1，则______．A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜xB．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞xC．在(1-δ，1)内，f(x)＜x；在(1，1+δ)内，f(x)＞xD．在(1-δ，1)内，f(x)＞z；在(1，1+δ)内，f(x)＜x8．若f(x)=-f(-x)，在(0，+∞)内f'(x)＞0，f"(x)＞0，则f(x)在(-∞，0)内______．A．f'(x)＜0，f"(x)＜0B．f'(x)＜0，f"(x)＞0C．f'(x)＞0，f"(x)＜0D．f'(x)＞0，f"(x)＞0二、填空题
9．
10．曲线在点(0，1)处的法线方程为______．11．
______．
12．过点且满足关系式y'arcsinx+=1的曲线方程为______．
13．函数y=x+2cosx在上的最大值为______．
14．曲线y=xin(x＞0)的渐近线方程为______．
三、解答题
15．求
16．设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求
17．求
18．在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所
围图形面积为最小(其中a＞0，b＞0)．19．求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值．20．设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分
21．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A有秩r(A)=2．(2)求a，b的值及方程组的通解．22．已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．23．已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系．若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系．
参考答案与解析
一、选择题
1．[考点提示]奇函数、偶函数、原函数．
[解题分析]由题意可知
于是f(x)为奇函数df为偶函数f(x)的全体原函数为偶函数；f(x)为偶函数
=f(x)为奇函数．
所以选A．
2．[考点提示]连续与极限、导数定义．
[解题分析]A，B，C三个选项都是正确的．对于D选项，如f(x)=|x|，满足
=0，但f'(0+)=1，f'(0-)=-1．两者不相等，即f'(0)可以不存在，故应
选D．
3．[考点提示]连续性、可导性．
[解题分析]题设所给函数f(x)是分段函数，且f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论x=0点的连续性与可导性．
由
知f(x)在x=0处处连续．
又由
知f(x)在x=0处可导且f'(0)=0，所以选D．
4．[考点提示]利用变限积分求导公式和复合函数的求导方法计算即可．
[解题分析]
=-e-xf(e-x)-f(x)．
故应选A．
[评注1]本题为选择题，因此也可用取特殊值法求解：取f(x)=1，则F(x)=e-x-x，于是F'(x)=-e-x-1，代入四个选项中，只有A符合要求．
[评注2]一般变限积分的求导公式为：
5．[考点提示]二重积分的计算．
[解题分析]用排除法．若选择先y后x的积分顺序．则要用分块积分．由于选项并未分块
积分，故A，B错误．
其中D如图所求，其极坐标表示为0≤r≤1，0≤θ≤．现转换为先x后y的顺序：
因为y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为
所以
从而
故选C．
6．[考点提示]微分方程及其通解．
[解题分析]由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为λ1=1，λ2,3=±2i，从而特征方程为
(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，
所以所求微分方程为y"'-y"+4y'-4y=0．故选D．
7．[考点提示]泰勒展开式．
[解题分析]由题设，f(x)在(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，且f'(x)严格单调减少，则f"(x)＜0，将f(x)在x=1点处作泰勒展开，得
其中ξ在x与1之间．
由已知f(1)=f'(1)=1，则
因此f(x)＜x．选A．
8．[考点提示]利用奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数的结论得正确答案．
[解题分析]由f(x)=-f(-x)，得
f'(x)=-f'(-x)×(-1)=f'(-x)，
f"(x)=-f"(-x)．
于是当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，有
f'(-x)＞0，f"(-x)＞0，
从而f'(x)=f'(-x)＞0，f"(x)=-f"(-x)＜0．
故应选C．
[评注]本题考查奇、偶函数导数特性．一般地，可导奇函数的导数为偶函数，可导偶函数的导数为奇函数．
二、填空题
9．[考点提示]极限．
[解题分析]求极限通常会有若干种途径，本题可采用以下几种方法：
注：以上依次采用的方法是等价无穷小因子代换、洛必达法则和麦克劳林级数展开．
10．[考点提示]法线方程、参数方程求导．
[解题分析]由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率．由已知x=0，y-1时，t=0．由
知
因此，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为
y-1=-2x，即2x+y-1=0．
11．[考点提示]不定积分．
[解题分析]由题设，
12．[考点提示]一阶微分方程．
[解题分析]南题设，原方程可化为
应用一阶线性非齐次方程通解公式，得
由已知曲线过点，则当x=时，y=0．代入上式，得C=-．所以曲线方程为
即yarcsinx=x-
13．[考点提示]函数的最值．
[解题分析]先求出内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最
值．
因为y'=1-2sinx，令y'=0，得内的驻点x=
又
可见最大值为y=
14．[考点提示]渐近线．
[解题分析]通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三种．
由题设，，因此无水平渐近线．
又由
因此也无铅直渐近线．
关于斜渐近线，设
因此有斜渐近线为y=x+
三、解答题
15．[考点提示]用等价无穷小、洛必达法则．
[解题分析]
16．[考点提示]隐函数、复合函数求导数．
[解题分析]等式两边同时对x求导，得
y'=f'(x+y)(1+y')，
于是
再对x求导，得
[评注]此题考查隐函数和复合函数的求导法，特别注意(f')'和f"·(1+y')．
17．[考点提示]三角函数有理式的积分．
[解题分析]三角函数有理式的积分通常用三角恒等式变换和凑微分法．
[详解1]
[详解2]
[详解3]
[详解4]用万能代换：
令t=tan，则sinx=，x=2arctant，dx=dt．于是
[评注]三角函数有理式的积分方法比较灵活，尽量用最简单的方法(如凑微分法)进行计算．
18．[考点提示]函数极值的综合题．
[解题分析]先求出切线及与坐标轴的交点，所围图形的面积是动点(x0，y0)的函数，再由此确定x0，y0．
设P(x0，y0)为所求点，则此点处椭圆的切线方程为
令x=0，得该切线在y轴上的截距为
令y=0，得该切线在x轴上的截距为
于是所围图形的面积为
设S1=x0y0=，因为S1的极大值点即S的极小值点，为计算方便，将求S
的极小值点改求S1的极大值点．
今S'1=0．解得在(0，a)内的唯一驻点x0=
由S'1在点x0=处的左侧为正，右侧为负，知x0=为S1的极大值点，即S的极小
值点．所以当x0=时，S为最小．此时y0=，即P为所求点．
19．[考点提示]多元函数的最值．
[解题分析]令F(x，y，z)=x2+y2+z2+λ1(x2+y2-z)+λ2(x+y+z-4)，分别对各参数求导并令其为0．得到如下方程组
解得或
即有umax=(-2)2+(-2)2+82=72，
umin=12+12+22=6．
20．[考点提示]二重积分的计算．
[解题分析]
依题意，如图所示，D为右半单位圆，且关于x轴对称，因为
所以
令x=rcosθ，y=rsinθ，作极坐标变换则有D1：0≤θ≤，0≤r≤1，从而
21．[考点提示]向量组的线性相关性、增广矩阵、线性方程组的通解．
[解题分析](1)用线性相关性判断秩的方法．
依题意，设α1，α2，α3是非齐次方程组的3个线性无关的解，则α1-α2，α1-α3是Ax=0线性无关的解．所以
n-r(A)≥2，即r(A)≤2．
又矩阵A中有二阶子式不为0，于是r(A)≥2，所以秩r(A)=2．
(2)对增广矩阵作初等行变换，有
由r(A)=r=2(已证)a=2，b=-3．
又α=(2，-3，0，0)T是原方程组的解，η1=(-2，1，1，0)T．η2=(4，-5，0，1)是AX=0的基础解系，所以原方程组的通解是
α+K1η1+K2η2(K1，K2为任意常数)．
22．[考点提示]线性非齐次代数方程组．
[解题分析]由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组
有唯一解．下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广矩阵为B，则
方程组①有唯一解，则r(A)=r(B)=2，因而|B|=0，即
=3(a+b+c)r(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=0．
由已知3条直线不相同，从而
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，
因此a+b+c=0．至此，必要性得证．
再证充分性，由于a+b+c=0，则|B|=0，因此，r(B)≤2．又因为
由此r(A)=2，所以r(A)=r(B)=2，则方程组①有唯一解，也即三条直线交于一点．充分性得证．
注本题的另外一种证法是：
(1)必要性：设三条直线交于一点(x0，y0)，则是Ax=0的非零解，其中
因此|A|=0，即
|A|=-3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]．
由于(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，知a+b+c=0．
(2)充分性：由方程组的三个方程相加，并结合a+b+c=0，知上述
方程等价于以下方程组
由于
=[a2+2ab+b2+a2+b2]=-[(a+b)2+a2+b2]≠0．
因此原方程组解唯一，从而三条直线交于一点．
23．[考点提示]基础解系．
[解题分析]本题考查一个向量组成其为一个线性方程组的基础解系的充分必要条件，即该向量组的所有向量线性无关，且都是原方程组的解；同时该向量组中向量的个数等于原方程
组的解空间的维数．由题设，α1，α2，α3，α4是Ax=0的基础解系，则Ax=0的解空间维数是4，又β1，β2，β3，β4都是α1，α2，α3，α4的线性组合，所以β1，β2，β3，β4都是Ax=0的解．至此只需'讨论β1，β2，β3，β4是否线性无关即可．
设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0．①
将题设中βi的表达式代入①式，并化简得
(k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0．
已知α1，α2，α3，α4线性无关，因此有
记方程组②的系数行列式为|B|，则
因此β1，β2，β3，β4为Ax=0的一个基础解系的充要条件是β1，β2，β3，β4线性无关，也即②只有零解，即|B|≠0．所以当1-t4≠0，即t≠±1时满足条件．
注在分析β1，β2，β3，β4是否线性无关时，也可利用β1，β2，β3，β4与α1，α2，
α3，α4之间的关系：
直接得出β1，β2，β3，β4线性无关的充要条件是
2015年考研数学模拟试卷（含答案）OK，关于2015考研数学和年考研数学模拟试卷的内容到此结束了，希望对大家有所帮助。
