山西省实验中学九年级上册期中考试22题。
2023山西省实验中学的九年级上册期中考试的压轴题23题，正是因为在期中考试的时间出了一份卷子，涉及到了整本书，连后面的几个章节都考到了，所以压轴题没有出的特别的难。尤其是看到前面是一个天空、一个证明，后面直接写出pq长，所以给的尽量照顾，因为前面的题量其实也不算小，后面尽量没有让你去写过多的过程。
读读题，这个题其实还是不算太难。如图正方形a、b、c、d中边长为八角，m、d、n是这个角，这个角等于九十度，将角m、d、n绕着点d旋转，其中d、m边分别与射线b、a。
要把这先画一下，和直线a、c相交于e和q两个点，怎么d、n边与射线b、c相交于点f连接e、f，且e、f与直线a、c相交于点p。大家看到，当点e在直线，在线段a、b上，第一个线段ae和cf的数量关系是，如果点e就在线段a、b上的时候，ae和cf的数量关系显然是相等。
这个证明也很好证，看到角一这边给一个公共角，在这给个角二，角一加中间的e、d、c公共角等于九十度，ed、c公共角加上角二也是九十度，所以角一和角二相等再加九十度和九十度的直角相等再加a、d和dc是正方形的，两条边长也相等，所以这两个三角形全等。
三角形ae、d全等于三角形dcf，这两个三角形全等自然也就带来了ae一定会等于cf。第二直线d、p和直线e、f有什么样的位置关系？看d、p在这和e、f有什么样的位置关系？显然d、p要垂直于e、f，其实也好正。
刚才已经正出来了，d、e和d、f相等的情况下直接做一个垂直法，e、g垂直于a、b交a、c于点g，比较容易能够正出来三角形ae、j，它是一个等腰直角三角形，因为在这里的角三显然是四十五度角，有了三角形aj是等腰直角三角形，ae的长度和ej的长度显然是相等的。
再加上ae本来等于cf，所以现在ej就等于了cf，再加上对顶角相等，角四和角五的对顶角相等，再加上角六。角7的内错角相等，这个内错角需要你正下90和90的同位角相等，那么我们能出来的是上半部分的三角形ejp，三角形ejp它要全等于下半部分的三角形fcp，那么这两个三角形全等就能得证。
点p一定是ef的终点，在一个等腰三角形里面三线合一，点p是终点三线合一则能够推出，dp一定是垂直于ef的。
·关键看到它的第四，说当ae的长度是二的时候，直接写出一个pq长，ae的长度是二，而ad的全长是个八。方法其实很多，我的第一个辅助线，可以在这做。
做完以后你会发现三角形dhq和三角形dae它们两个三角形相似，所以八比二是四比一的比例关系，就等于hd比hq也应该该是四比一的比例关系。
再加上三角形ahq它应该是一个等腰直角三角形，所以它如果是x，这就是四x，隔壁也是x，所以很显然ah的长度一下算下来就是一个五分之八。因为全长占五份ah占一份ah的长度是五分之八，那么aq的长度同学们很显然这应该是一个五分之八倍根号二。
aq如果是五分之八倍根号二，来我们看一下qj的长，qj的长，因为ae的长度是二，所以它要用aj减去一个aq，算下来是一个二倍根号二减去五分之八倍根号二，减下来是一个五分之二倍根号二。
所以有了qj的长度之后我们再看下下面整个的jc长，用八倍根号二减去上面aj的二倍根号二，jc的长度应该是一个六倍根号二。
那我们刚才也说了，点p通过全等能证明，在点p是终点的情况下，pj是cj的一半，所以我们看到了jp的长度应该是一个三倍根号二。
那么最终我们夹出来整个的qp长就应该是一个五分之二倍的根号二，再加上一个三倍根号二，下来是五分之十七倍的根号二。当点e在ba射线，也就是ba的延长线上，而点f在这个位置，我们连接一下ef，ef跟直线ac相较于点p，这里是点p，而我们看到的dm要跟。直线ac相交于了点q，这边是点q。
同学们，看画出图来以后再看，就是这个时候仍然是要去求一个pq场。同学们，如果在上一问去求pq长的时候，看辅助线怎么做的？过点e做一个跟ab相垂直的线交，这个ac于点g，在这方法可以继续沿用下去。过点e做一个跟ab垂直的线交，这边于一个点j。
此时仍然是要去求qj加上一个jp。第一来，先还是过点q，再往这边做一个锤，给它一个h点。给它一个h点之后会发现三角形q、h、e这个三角形和底下的三角形aed这个三角形是不是仍然是相似三角形？这个边长如果是x，这个边长仍然是4x，因为这是二比八的比例关系。
然后再看三角形q、h、a这个三角形，这不又是一个等腰直角三角形吗？所以x加二等于四x，显然二等于三xx等于三分之二。很容易能看到qj的长，所以qj的长不用说了，肯定是一个看三分之二倍根号二，三分之二倍根号二。
而下面要去求一下j、jc的长，gc的长来，这个长度是八倍根号二，这个长度是二倍根号二合起来十倍根号二，点p仍然是终点，因为辅助线没变三角形，看三角形j、e、p和三角形p、f、c仍然是全等三角形，所以十倍根号二开两半刚好是一个五倍根号二，所以这一批的全长是五倍根号二，这个qp的长度是三分之十七倍的根号二，搞定两个答案。
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