很多人误以为数学理论100%可靠，我看了80篇“逻辑学和数学哲学”论文，总结出数学有6个底层缺陷。这是全网唯一一个系统科普数学底层缺陷的文章。
第1个缺陷，哥德尔不完备。
你可能听说过，数学是不完备的，但是这句话只说对了一半，因为有很多数学系统是完备的，一会儿我会举1个完备的例子。
你刷到的关于哥德尔不完备定理的视频，绝大多数都不严谨。这是它最完整的说法，注意了，这句话一个字都不能少：
任何内部无矛盾的形式系统，只要能同时表达“自然数的加法和乘法”，就可以在系统内部构造出，不能被证明、也不能被证伪的命题。(Robinson算术系统——只包含自然数的加法和乘法,是哥德尔不完备的最小系统；也可以把“自然数的加法和乘法”替换成“5个皮亚诺算术公理”)
太TM拗口了，数学总是不说人话。我给大家翻译成通俗易懂的语言，如果一个数学系统里包含了加法和乘法，就会出现一些诡异的命题，这个命题，没法证明是对的、也没法证明是错的，数学家把这种现象称为“不完备”。
这种诡异的命题好奇怪啊，有没有实际的例子？
有的，数学家在1977年发现了这个诡异命题——Paris–Harrington 定理：
当时引起了巨大轰动，因为这是人类发现的第1个，小学生也能看懂的哥德尔不完备的例子(初等数论领域，第1个不完备的具体例子)。因为N的增长速度太快，而皮亚诺算术系统能定义的“函数的增长速度”是有限的，因此在皮亚诺算术系统内部，这个定理既不能被证明是对的，也不能被证明是错的。
需要注意一下，哥德尔不完备只是说在系统内部没法被证明，在系统外部还是可以被证明的。就像在一个二维迷宫系统里面，藏着一个诡异命题，二维迷宫系统内部没有任何路径能找到它。但是如果把这个诡异命题，放到一个更加强大的三维迷宫系统里面，我们就可以找到它了。
举个例子，“ZFC公理系统(三维迷宫)”比“皮亚诺算术系统（二维迷宫）”更强大，ZFC公理系统能定义“增长速度更快”的函数，所以这个诡异命题(Paris–Harrington 定理),可以在更强大的外部“ZFC公理系统”里证明。
因此，哥德尔不完备的真正内涵是，在自己系统内部定义的定理，自己没法证明，但是可以在外部系统证明。
经常有人胡说八道，说哥德尔不完备说明了，真理不存在、数学永远得不到真理、人类理性彻底失败，等等，这些都是瞎扯蛋，不完备只是说系统内部没法证明，换一套更强大的外部系统就是了（当然了，外部公理系统还可能存在 新的不完备命题）。
哪些公理系统是完备的？
很多数学系统是完备的，因为哥德尔不完备有三个前提条件：自然数、同时表达加法和乘法、形式系统。只要不满足任何一个条件，数学就可以是完备的。
比如这个条件：能同时表达加法和乘法。1929年数学家构造出了一个，只包含加法、不包含乘法的数学系统（Presburger 算术），这个系统就是完备的。
再举一个例子，Tarski在1951年证明了：任何一个关于“初等欧几里得几何”的命题，要么能被证明，要么能被证伪，是完备的；也就是说，欧几里得几何是完备的。因为哥德尔编码依赖于素数分解，这需要数字是离散的“自然数”。而欧几里得几何研究的是“连续”的数字，在连续的几何世界里，你无法在逻辑内部定义“自然数”。
还有一个条件是形式系统，什么是形式系统呢？形式系统需要同时满足这3个条件：符号有限、推理规则可计算、公理可递归枚举。如果不是形式系统（例如 不可递归枚举、放弃可计算性、放弃可机械检验），那数学也可以是完备的。
总之，哥德尔不完备性有3个前提条件：自然数、同时表达加法和乘法、形式系统，必须同时满足这3个条件，才是不完备的。因此，千万不要简单地认为 数学是不完备的。数学能定义无数个公理系统，有些公理系统完备、有些公理系统不完备（绝大多数公理系统不完备）。
其实吧，“哥德尔不完备”只是数学1个很小的缺陷，后面5个缺陷都比“不完备”严重。只不过哥德尔不完备定理太出名了，所以很多人只知道“数学不完备”这一个缺陷。
第2个缺陷，一阶逻辑。
数学是由公理和逻辑组成的。逻辑有4层，0阶逻辑、1阶逻辑、2阶逻辑和高阶逻辑。
我用一个例子你就能明白它们4个的区别了。
0阶逻辑：如果这瓶酸奶打折，我就买。
1阶逻辑：所有打折的酸奶，我都买。
2阶逻辑：存在一种挑选策略，能让我买的商品便宜。
高阶逻辑：对于任意“挑选策略”的集合，存在一个“元策略”，能让选中的商品比其它策略便宜。
你会发现，逻辑层级越高 表达能力越强。
数学那么难懂，我们的数学是不是用最厉害的高阶逻辑呢？
不是的。人类99%以上的数学理论是用1阶逻辑表达的，连2阶逻辑都达不到，更别说高阶逻辑了。因为1阶逻辑存在完备的、可计算的推理规则系统，2阶逻辑和高阶逻辑无法做到这一点。
但是有利就有弊，1阶逻辑也有很多缺陷，比如说，一阶逻辑下可以定义“标准实数”，也可以定义“超实数”，在标准实数里无穷小严格等于0，所以0.9的循环严格等于1。
但是，在超实数里出现了一个，无穷小却不等于0的东西ε，0.9的循环+ε=1。因此，在超实数里面 0.9的循环可以不等于1，我仔细解释一下。
超实数是对实数的扩展，超实数=实数+无穷大H+无穷小ε 。在超实数里面，无穷大H、无穷小ε跟1、2、3一样，都是基本的数字。每一个实数附近，都有无穷多个超实数，例如
在有理数里面，两个整数之间有无穷多个有理数（例如两个整数2和3之间，有2.1、2.5这些有理数）；在实数里面，两个有理数之间也有无穷多个实数（例如 两个有理数1.4和1.5之间，有 
这两个“0.9的循环”核心的区别是，对0.9的循环定义不一样，一个是用极限定义、另一个是在超实数里面用“1-ε”定义。因为“1-ε”是直接在超实数里面定义的，所以不需要使用“传递原理”，也没有取标准部分，所以“1-ε”≠1。
超实数是德国数学家鲁滨逊在1970年发现的，在数理逻辑这个领域 鲁滨逊能排进人类前10名。
0.9的循环等于1吗？
不同学历对这个问题的理解不一样：
小学学历，凭直觉认为应该小于1；
数学系的本科生 或者 看了一些数学科普的人，会认为它严格等于1；
数理逻辑或分析学的博士，则认为只有标准实数里等于1，超实数里不一定等于1。
有没有一种豁然开朗的感觉？这么棒的科普，你还不点个赞？这么靠谱的科普作者，你还不关注一下？
刚才扯远了，我们继续讲1阶逻辑。1阶逻辑能定义标准实数，也能定义超实数，所以一阶逻辑刻画的实数不唯一，这是一阶逻辑非常大的缺点。
除此之外，一阶逻辑无法描述数学归纳法，一阶逻辑不能严格区分有限和无限，等等，总之“一阶逻辑”有一大堆缺陷。
但是，99%以上的数学理论建立在一阶逻辑之上，因此， 99%的数学建立在一个有很多缺陷的逻辑上，这就是数学的第2个底层缺陷。
第3个底层缺陷，排中律和反证法。
我们都知道数学公式，对就是对，错就是错，没有其它情况，比如说1+1=2.5，只错了一半？这是不行的。这种性质叫“排中律”，也就是，排除中间状态的律法。
但是，很多数学家不认可排中律，因为还有其他逻辑形式。比如：
三值逻辑，除了真假之外，还有一个“未知”，计算机的SQL数据库系统就是用的true、false、null三值逻辑。
1968年，数学家创造了概率逻辑，概率逻辑认为真假是0到1之间的数值。比如“明天下雨”,这个命题真值是0.7，不再是纯粹的真或假。
1936年冯・诺依曼创立了量子逻辑，比如，命题A：电子在左边的缝隙；命题B：电子在右边的缝隙，这两个命题处于真假的叠加态。
既然有这么多种逻辑形式，那排中律就不一定正确了。
同一律、矛盾律和排中律是逻辑学的三大基石，数学就是建立在逻辑学之上，因此，如果排中律有问题，会动摇数学大厦，后果非常非常严重!
其中最大的后果是不能再使用反证法了，因为反证法是排中律的推论。希尔伯特说过，不让数学家使用反证法，相当于不让天文学家使用望远镜。都相当于天文学里面的望远镜了，可见反证法在数学里面有多么核心，大量的数学定理是用反证法证明的。
但是，很多数学流派反对使用反证法，比如直觉主义流派，反对在无穷集合上使用反证法；构造主义流派，在涉及非构造性存在时，反对使用反证法，等等。
人类现在的数学太滥用反证法了，外星文明的数学，说不定会对反证法做出一些限制。这就是数学的第3个底层缺陷，排中律不一定可靠，以及滥用反证法。
第4个缺陷：后浪
数学一直在向前发展，后人经常推翻前人的数学结论。比如，在牛顿那个时代，数学家认为，连续函数一定能求导数，但是1872年，有人发现了这个神奇的函数：
这个函数处处连续、处处不可导，推翻了之前数学家的观念。
再举个例子，1758年欧拉发现了多面体定理，点、线、面的个数存在这个关系。
94年后，数学家发现，对于“带洞的多面体”，这个定理不成立。
再后来又发现，对于星形的多面体，这个定理也不成立。
后人推翻前人的数学观念，在数学领域很常见。这提醒我们，3035年的数学家，会不会觉得2025年的数学，有很多错误或者不严谨呢？
举个例子，数学不同分支里面 “等于号=”有很多不同的内涵，比如说 数值相等、同构、恒等、定义、记号约定等等。3035年的数学家有可能会说，2025的数学家对“等于号的内涵”定义不严格，经常乱用等于号！就像我们评价牛顿时期“对微积分的定义不严格”一样，2025年的数学对“等于号的定义”也可能不严格。
除了“等于号”，3035年的数学还可能在下面几个方面 跟我们不同：无穷、集合、可计算、证明本身、反证法、随机等等。所以，2025年的数学不一定100%可靠，可能藏着一些错误或者不严谨的地方。
第5个缺陷，公理。
前面4个缺陷都是小打小闹，这个缺陷才是现代数学最大的、最核心的缺陷。这个缺陷内容很多，需要前面铺垫很多基础知识 你才能理解这个缺陷。
第1部分，数学的整体框架。
这是数学各个分支之间的关系，处在最基础、最底层的是逻辑，再往上是集合论，集合论又定义了数字系统。
之后分成了代数、几何和分析3大分支，再衍生出线性代数、图论、微积分、概率论等分支，这就是现代数学的整体框架。
逻辑处在数学底层，这个很好理解，那为什么集合论这么基础？
因为集合论里有1个ZFC公理系统，它包含了10条公理，99%以上的数学理论都建立在这10条公理之上。这10条公理分别是，外延公理、无穷公理、配对公理、正则公理，存在公理、分类公理、并集公理，替代公理、幂集公理和选择公理，这10条公理支撑起了整个数学大厦。下面是这10个ZFC公理的具体内涵：
为什么这10条公理这么厉害？因为这10条公理，定义了0、自然数、有理数、实数，这些基本的数字。
10个ZFC公理定义数字的过程
先用存在公理定义0，再用外延公理、配对公理和并集公理扩展数字，比如1是这个集合，2是这个集合，3是这个集合。
2+3=5，它的真实意思是，2代表的集合和3代表的集合，合并成了5代表的集合。在现代数学里，数字本质上是集合。这句话很重要我再说一遍，在现代数学里，数字本质上是集合。
从0扩展到1、2、3这些基本数字后，再用 “无穷公理和正则公理” 扩展到“全体自然数”，再用“配对公理、并集公理、幂集公理”把自然数扩展到“整数”，之后用“并集公理、幂集公理、分离公理、替换公理”把整数扩展到“有理数”，最后用“幂集公理、分离公理、外延公理”把有理数扩展到“实数”。
就这样，通过10个ZFC公理完成了对数字的定义。
定义完数字后，加上希尔伯特的20条几何公理，就能发展出现代几何学；加上域公理和向量空间公理，就能发展出线性代数；加上3条拓扑公理，就能发展出拓扑学，等等。
总之一句话，现代数学建立在公理之上。
你可以把公理看成积木，5个公理就是5个不同形状的积木，再把微积分、线性代数这些数学理论，看成积木搭成的模型，构建微积分、线性代数的过程就是搭积木的过程。
数学总共有多少个公理？
现代数学大约有50到100个常见的公理：
也就是说，99%以上的数学理论是用50到100个公理“积木”搭建成的。这句话很重要，我再说一遍，99%以上的数学理论是用50到100个公理“积木”搭建成的。
公理是固定不变的吗？
公理经常变化。例如，欧几里得在公元前300年建立了几何学，包含了5条公理，但是这5条公理有很多定义不清晰的地方，于是皮亚诺在1894年，把它扩展成了24条公理；到了1899年，希尔伯特又把它缩减成了21条公理；之后为了方便计算机自动证明，1983年塔斯基又把它缩减到了，10条公理+1套连续性公理模式。这些都是大的版本修改，还有很多小修改，例如，1854年黎曼修改了平行线公理，1923年希尔伯特加入了“维度公理和完备性公理”，等等。
总之，公理不是固定的，数学家可以增加、删除、修改公理，只要没逻辑矛盾，就能任意修改公理。
公理需要符合现实吗？
可以不符合。例如，我们可以把“一条直线只有7个点”当做公理；也可以把“存在最大的数 超过它之后重新从1开始”，当做公理；还可以把“道可道Science的视频都应该点赞”，当做公理，我觉得这条公理肥肠肥肠好！！！
数学公理可以随便编造（只要没有逻辑矛盾，数学允许随便改公理）。有很多奇葩的公理体系，例如允许“套娃死循环”的公理体系（Aczel Axiom）、线条会“折断”的几何（Moulton Plane）、允许“分身术”的世界（Axiom of Choice）等等，公理不需要符合现实。
因此公理不是真理，公理说白了就是假设。这句话很重要，我再说一遍：公理不是真理，公理说白了就是假设。
当然了，公理虽然可以不符合现实，但是符合现实的公理会被更多的数学家接受。比如有两个公理——“两点之间只有1条直线”、“两点之间有4条直线”。很明显第一个公理更符合现实，所以更多的数学家会支持第一个公理。
再举个例子，1919年之前，99%以上的数学家认可“平行线公理”，不到1%认可“非欧几何”，也就是不存在平行线。（1919年的时候，大多数数学家认为“非欧几何”只是一种“逻辑玩具”，并不真心认可“非欧几何”。就像现在大多数数学家，并不真心认可“超实数”一样）。1919年广义相对论被实验证实后，大量的数学家迅速改变了对“平行线公理”的态度，现在99%以上数学家 真心认可“非欧几何”。所以，物理现实会影响数学家对公理的选择。
数学不是纯粹的逻辑工具吗？物理现实怎么能影响数学？
我给你讲一段数学的历史，1910年，数学出现了一个逻辑主义学派。
这个学派试图“只通过逻辑”构建数学大厦，最后这个学派失败了。因为，纯逻辑能推导出来的东西非常非常少，纯逻辑连自然数都无法定义，必须加入很多条公理才能定义自然数。因此，数学不是纯粹的逻辑，这句话很重要，我再说一遍，数学不是纯粹的逻辑。逻辑+公理才是数学，数学本身已经隐含了大量的公理。
数学公理是怎么来的呢？
大多公理是数学家通过逻辑和直觉创造出来的，物理现实可以通过对公理的选择影响数学理论。举个例子，现在99%的数学家支持无穷公理，觉得数学里存在无穷大，只有不到1%支持有限主义（比如说 庞加莱的原始递归函数）；但是，如果有人用有限主义统一了量子力学和相对论，还得到实验验证，那99%的数学家会迅速抛弃无穷公理，转而支持有限主义（庞加莱的原始递归函数），所以物理现实会影响数学家对无穷公理的态度。
再举个例子，假如在10的-35次方米的普朗克尺度，有一个弦论文明。在这么小的尺度，空间可能是离散的。
这个文明的公理肯定跟我们不一样。比如“两点之间存在一条直线”，
由于这个文明都是离散的点，没有直线，所以他们的数学课本里可能没有这1条几何公理。因此，不要认为公理在全宇宙都一样。 两点之间存在一条直线，只是地球文明的一个假设，公理的本质是假设！
数学有50到100个常见的公理，也就是说，现代数学建立在50到100个假设（公理）之上。
都包含这么多假设了，你还觉得数学是100%可靠的真理吗？？所以，这个缺陷是数学最大的、最核心的缺陷！！
第6个缺陷，ZFC公理体系
ZFC公理体系现在有10条，但是之前不一样。最开始只有1条公理，后来因为出现罗素悖论、康托尔悖论等各种悖论，数学家一步步把它修改、扩展成7条公理；之后因为不能处理序数和基数，又修改、扩展成了9条公理；最后为了保证数学功能完备，又加入了选择公理，最终变成了10条公理。就这样，一个补丁叠一个补丁，数学家完成了ZFC公理系统的构建。这10个ZFC公理系统，就像这套水管系统：
能跑、很丑、又难改，都是补丁套补丁的产物；跟计算机大型程序里面的“屎山代码”一样，能跑、很丑、又难改。
专门研究数理逻辑的数学家都非常清楚这一点，这10个ZFC公理啰嗦、拗口、不直观，并且还有很多局限性，比如以下几点：
1.很难取舍选择公理；
2.大基数超出证明力；
3.集合的正则性不足；
4.数、函数、结构 都被编码为集合，太笨重，不如范畴论直观；
5.允许极大无限与非构造对象；
6.CH不完备；
7.一阶公理下 模型不唯一；
等等，我就不展开讲了。
由于99%的数学理论建立在这10条公理之上，这相当于，99%的数学理论建立在这套丑陋的ZFC系统之上。
好了，这就是现代数学的6个底层缺陷。
很多数学自媒体有意无意地向公众传递一个观念，数学就是真理，对于数学 只需要跪下接受数学结论就行。比如0.9的循环等于1，无穷大加1等于无穷大等等，跪下，接受这些数学结论就行。
我花了20分钟告诉你，数学不是100%可靠，不要太相信数学，尤其是不要太相信与无穷集合有关的数学。
数学的置信度是99.9999%以上，不是100%。其实相比其它学科， 数学算是好的了，我只找到了6个底层缺陷，物理学我随随便便就能找出60个缺陷。我不反对数学，我反对的是“很多几百万、上千万粉丝的数学自媒体，误导大众，把数学塑造成了真理”！
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