如下图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BD于E，求证：
AB²+BC²+CD²+AD²=2AC²
这是一道早年的竞赛题，主要考察中线定理和相交弦定理。
证明：因为E为BD中点，所以在△ABD和△BCD中，根据中线定理有：
AB²+AD²=2BE²+2AE²
BC²+CD²=2CE²+2BE²，两式相加可得：AB²+BC²+CD²+AD²=2(AE²+2BE²+CE²)。由相交弦定理AE·CE=BE·DE=BE²(因为BE=DE)。
所以AE²+2BE²+CE²=AE²+2AE·CE+CE²
=(AE+CE)²=AC²。
所以AB²+BC²+CD²+AD²=2AC²。
附：三角形中线定理
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AD²=AB²/2+AC²/2-BC²/4。
对上式变形可得:AB²+AC²=2AD²+2BD²。
这个利用平行四边形对角线互相平分的性质和余弦定理很容易就能证明。有兴趣的可以自己证明一下，或者看我以前发的关于中线定理的文章，这里不再赘述。
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