高中数学函数与导数基础知识梳理（填空版）
一、函数基础概念
1. 函数的定义：设A，B是________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
2. 函数的三个要素：________、________、和________。
3. 函数的表示方法：________法、________法和________法。
4. 函数的定义域：使函数解析式________的实数x的集合。
5. 求定义域的常见限制条件：
· 分式：分母________
· 偶次根式：被开方数________
· 对数函数：真数________，底数________且________
· 正切函数：tanx中x ≠ ________
二、函数的基本性质
1. 函数的单调性：
· 增函数：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁ < x₂时，都有________
· 减函数：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁ < x₂时，都有________
2. 函数的奇偶性：
· 奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，图像关于________对称
· 偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，图像关于________对称
3. 函数的周期性：存在一个________的常数T，使得对于定义域内的任意x，都有________，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
三、基本初等函数
1. 一次函数：y = ________ (k ≠ 0)，图像是________
2. 二次函数：y = ________ (a ≠ 0)
· 顶点坐标：________
· 对称轴：________
3. 指数函数：y = ________ (a > 0且a ≠ 1)
· 定义域：________
· 值域：________
· 当a > 1时，函数________；当0 < a < 1时，函数________
4. 对数函数：y = ________ (a > 0且a ≠ 1)
· 定义域：________
· 值域：________
· 当a > 1时，函数________；当0 < a < 1时，函数________
5. 幂函数：y = ________ (α为常数)
四、导数基础概念
1. 导数的定义：函数y = f(x)在x = x₀处的瞬时变化率是lim(Δx→0) ________ = lim(Δx→0) ________
2. 导数的几何意义：函数y = f(x)在点(x₀, f(x₀))处的导数是曲线y = f(x)在点(x₀, f(x₀))处的切线的________
3. 基本导数公式：
· (c)' = ________ (c为常数)
· (xⁿ)' = ________
· (sinx)' = ________
· (cosx)' = ________
· (eˣ)' = ________
· (aˣ)' = ________
· (lnx)' = ________
· (logₐx)' = ________
4. 导数的运算法则：
· [f(x) ± g(x)]' = ________
· [f(x) · g(x)]' = ________
· [f(x)/g(x)]' = ________ (g(x) ≠ 0)
· 链式法则：[f(g(x))]' = ________
五、导数的应用
1. 利用导数判断函数单调性：
· 如果在区间(a, b)内，f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)内________
· 如果在区间(a, b)内，f'(x) < 0，则f(x)在(a, b)内________
2. 函数的极值：
· 极大值：在点x₀附近，f(x₀)比其它点的函数值都________
· 极小值：在点x₀附近，f(x₀)比其它点的函数值都________
· 极值点处f'(x₀) =________ 或________
3. 求函数极值的步骤：
· 求________
· 解方程________，得到驻点
· 检查f'(x)在驻点左右两侧的________，确定极值点
· 求出________
4. 函数在闭区间上的最大值与最小值：
· 求出函数在________的极值
· 求出________的函数值
· 比较上述值，最大的为________，最小的为________
六、综合应用
1. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 1，则：
· f'(x) = ________
· 函数f(x)的单调递增区间为________
· 函数f(x)的单调递减区间为________
· 函数f(x)的极大值为________，极小值为________
2. 求曲线y = x²在点(1, 1)处的切线方程：________
3. 求函数f(x) = x³ - 3x在区间[-2, 2]上的最大值和最小值：
· 最大值：________
· 最小值：________
---
---
---
参考答案:
参考答案
1. 非空数集，任意，唯一确定
2. 定义域，值域，对应关系
3. 解析，列表，图像
4. 有意义
5. 不等于0，大于等于0，大于0，大于0，不等于1，π/2 + kπ (k∈Z)
6. f(x₁) < f(x₂)，f(x₁) > f(x₂)
7. f(-x) = -f(x)，原点，f(-x) = f(x)，y轴
8. 非零，f(x+T) = f(x)
9. kx + b，一条直线
10. ax² + bx + c，(-b/2a, (4ac-b²)/4a)，x = -b/2a
11. aˣ，R，(0, +∞)，单调递增，单调递减
12. logₐx，(0, +∞)，R，单调递增，单调递减
13. xᵃ
14. Δy/Δx，[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx
15. 斜率
16. 0，nxⁿ⁻¹，cosx，-sinx，eˣ，aˣlna，1/x，1/(xlna)
17. f'(x) ± g'(x)，f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²，f'(g(x)) · g'(x)
18. 单调递增，单调递减
19. 大，小，0，不存在
20. 定义域，f'(x) = 0，符号，极值
21. 区间内，区间端点，最大值，最小值
22. 3x² - 3，(-∞, -1]∪[1, +∞)，[-1, 1]，f(-1) = 3，f(1) = -1
23. y = 2x - 1
24. f(2) = 2，f(-2) = -2
一、函数就像一台“数字加工机”
简单理解： 你往机器里扔一个数字（输入），它会按照特定规则加工，吐出一个新数字（输出）。
例题1（基础）：
· 如果加工规则是 f(x) = 2x + 1
· 当你输入 3，输出就是 2*3 + 1 = 7
· 写作：f(3) = 7
例题2（求定义域 - 就是“什么数字能往里扔”）：
· 规则是 f(x) = 1 / (x - 2)
· 思考：什么数字不能扔进去？分母不能为0的数字！
· 所以 x - 2 ≠ 0，即 x ≠ 2
· 定义域：除了2以外的所有实数。
练*题：
1. 对于 f(x) = 3x - 5，求 f(2)。
2. 对于 g(x) = 1 / (x + 1)，它的定义域是什么？（什么数字不能往里扔？）
---
二、函数的“脾气”：单调性与奇偶性
单调性： 函数值随输入增大而变化的趋势。
· 单调递增： x变大，f(x)也变大。（像上坡）
· 单调递减： x变大，f(x)变小。（像下坡）
奇偶性：
· 奇函数： 关于原点对称。f(-x) = -f(x)。图像像是旋转180度重合。
· 偶函数： 关于y轴对称。f(-x) = f(x)。图像像是折叠重合。
例题3：
· f(x) = x² 是偶函数，因为 f(-2) = 4，f(2) = 4，结果相同。
· f(x) = x³ 是奇函数，因为 f(-2) = -8，f(2) = 8，结果互为相反数。
练*题：
1. f(x) = x + 1 是奇函数、偶函数，还是都不是？
---
三、导数：衡量“变化快慢”的工具
核心思想： 导数就是瞬时变化率。就像汽车的速度表，显示某一瞬间的快慢。
几何意义： 函数图像在某一点的切线斜率。
· 斜率 > 0：切线向上，函数在此点递增。
· 斜率 < 0：切线向下，函数在此点递减。
· 斜率 = 0：切线水平，可能是山顶（极大值）或山谷（极小值）。
例题4（基础求导）：
求f(x) = x² 的导数。
· 公式：(xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹
· 这里 n=2，所以 f'(x) = 2 * x²⁻¹ = 2x
例题5（用导数判断单调性）：
判断f(x) = x² 的单调性。
1. 求导：f'(x) = 2x
2. 分析：
· 当 x > 0 时，f'(x) = 2x > 0，函数单调递增。
· 当 x < 0 时，f'(x) = 2x < 0，函数单调递减。
练*题：
1. 求 f(x) = x³ 的导数 f'(x)。
2. f(x) = x³ 在 x = 1 点时，是在递增还是递减？（提示：计算 f'(1) 是正还是负）
---
四、导数的核心应用：求极大/极小值
方法（“三步法”）：
1. 求导： 求出导函数 f'(x)。
2. 解方程： 令 f'(x) = 0，解出 x。这些点叫“驻点”，可能是极值点。
3. 判断： 检查这些驻点左右的导数符号变化，确定是极大值还是极小值。
例题6：
求f(x) = x³ - 3x 的极值。
1. 求导：f'(x) = 3x² - 3
2. 令 f'(x) = 0: 3x² - 3 = 0 -> x² = 1 -> x = 1 或 x = -1
3. 判断：
· 当 x < -1，f'(x) > 0（递增）
· 当 -1 < x < 1，f'(x) < 0（递减）
· 所以 x = -1 是极大值点，f(-1) = 2
· 当 x > 1，f'(x) > 0（递增）
· 所以 x = 1 是极小值点，f(1) = -2
练*题：
1. 求 f(x) = x² - 4x + 5 的极值点。（提示：它的图像是一个开口向上的抛物线，极值点就是顶点。）
---
五、一个经典的实际应用问题
问题： 一个农夫有100米长的篱笆，想靠着一堵墙围一个矩形羊圈。怎么围面积最大？
思路：
1. 设变量： 设垂直于墙的边长为 x 米。
2. 列函数： 平行于墙的边长就是 100 - 2x 米。面积 S = x * (100 - 2x) = -2x² + 100x。
3. 求最值：
· 求导：S' = -4x + 100
· 令 S' = 0：-4x + 100 = 0 -> x = 25
· 此时面积 S = 25 * (100 - 2*25) = 25 * 50 = 1250 平方米。
4. 结论： 围成一个宽25米，长50米的矩形时，面积最大。
---
练*题参考答案
1. f(2) = 3*2 - 5 = 1
2. 定义域：x + 1 ≠ 0，即 x ≠ -1。（所有不等于-1的实数）
3. 都不是。因为 f(-1) = 0, f(1) = 2，既不满足 f(-x) = f(x)，也不满足 f(-x) = -f(x)。
4. f'(x) = 3x²
5. f'(1) = 3*1² = 3 > 0，所以在 x=1 点时函数在递增。
6. f'(x) = 2x - 4，令 f'(x) = 0 得 x = 2。因为图像是开口向上的抛物线，所以 x=2 是极小值点。
五、一个经典的实际应用问题
问题： 一个农夫有100米长的篱笆，想靠着一堵墙围一个矩形羊圈。怎么围面积最大？
这个问题用基本不等式，二次函数求最值的方法怎么做？
同一个最值问题，可以用多种方法解决。这能帮助我们更好地理解不同数学工具之间的联系。下面我们分别用基本不等式和二次函数求最值这两种您提到的方法来解这个问题。
---
问题回顾
农夫有100米篱笆，靠墙围一个矩形羊圈。怎样围面积最大？
设变量：
· 设垂直于墙的边长为 x 米。
· 则平行于墙的边长为 100 - 2x 米。
建立面积函数：
S = x * (100 - 2x)
---
方法一：利用二次函数求最值
这是最直接的方法，因为面积 S 本身就是一个关于 x 的二次函数。
1. 将面积函数化为标准形式：
S = x(100 - 2x) = -2x² + 100x
2. 识别二次函数属性：
这是一个二次函数，通式为 ax² + bx + c。
· 这里 a = -2, b = 100。
· 因为 a = -2 < 0，所以函数图像是一个开口向下的抛物线，其最大值在顶点处取得。
3. 求顶点坐标（最值点）：
对于二次函数 y = ax² + bx + c，顶点的横坐标为 x = -b / (2a)。
· 代入计算：x = -100 / (2 * (-2)) = -100 / -4 = 25
4. 得出结论：
当垂直于墙的边长 x = 25 米时，面积 S 取得最大值。
· 此时，平行于墙的边长为 100 - 2*25 = 50 米。
· 最大面积为 S = 25 * 50 = 1250 平方米。
方法一总结： 将问题转化为二次函数，利用抛物线顶点的性质直接找到最大值点。
---
方法二：利用基本不等式
基本不等式（均值不等式）告诉我们：对于两个正数 a 和 b，有 a + b ≥ 2√(ab)，当且仅当 a = b 时，等号成立。其核心是“当两个正数的和固定时，它们的乘积在两者相等时最大”。
我们的目标是让面积 S = x(100 - 2x) 最大。我们需要构造出“和为定值”的形式。
1. 观察并构造定值：
我们看到公式中有 x 和 (100 - 2x)。它们的和是：
x + (100 - 2x) = 100 - x
这个和不是定值，因为它随 x 变化，所以不能直接使用基本不等式。
2. 进行技巧性变换：
我们可以对面积公式进行一点调整，使其满足条件。注意到：
S = x(100 - 2x) = (1/2) * 2x * (100 - 2x)
关键一步： 我们构造出了 2x 和 (100 - 2x) 这两个项。
3. 应用基本不等式：
· 现在，2x 和 (100 - 2x) 都是正数（因为 x > 0 且 100 - 2x > 0）。
· 它们的和是一个定值：2x + (100 - 2x) = 100
· 根据基本不等式：2x + (100 - 2x) ≥ 2√[2x * (100 - 2x)]
· 即：100 ≥ 2√[2x(100 - 2x)]
· 两边除以2：50 ≥ √[2x(100 - 2x)]
· 两边平方：2500 ≥ 2x(100 - 2x)
· 所以：x(100 - 2x) ≤ 1250
4. 取等条件（何时达到最大值）：
基本不等式中，等号成立的条件是 2x = 100 - 2x。
· 解这个方程：4x = 100 -> x = 25
· 这个结果与方法一完全一致。
方法二总结： 通过巧妙的系数配凑，构造出“和为定值”的两项，从而利用基本不等式求出面积的最大值以及取得该值的条件。
---
对比与总结
方法 核心思想 优点 适用场景
二次函数法 利用开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。 直观、通用，几乎所有涉及二次函数的最值问题都能解决。 问题能直接或间接地转化为二次函数模型。
基本不等式法 利用“和定积最大”的原理。 简洁、巧妙，能锻炼代数变形和构造能力。 问题中的变量关系经过变形后，能构造出和为定值的两个正项。
对于这个具体问题，两种方法都得出了相同的结论：当垂直于墙的边长为25米，平行于墙的边长为50米时，羊圈面积最大，为1250平方米。
版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除
