20240904-三角函数系列公式推导
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两角和与差的正余弦公式推导积化和差公式推导和差化积公式推导三角函数系列公式关系图公式记忆经验-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@-<@
正文
(1)两角和与差的正余弦公式推导
两角和与差的余弦函数公式[1]
两角和与差的正弦函数公式证：
(2)积化和差公式推导
由两角和与差公式加减得到：
sina*cosb = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosa*sinb = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
cosa*cosb = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sina*sinb = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
(3)和差化积公式推导
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] （2）
证：由两角和与差的正弦公式（1）得
sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB (*)
令A+B=a, A-B=b,
解得 A=(a+b)/2，B=(a-b)/2，
代入(*)即得(2)式。
得证☐
对公式(2)用-b代替b即得
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
同理可证
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
(4)三角函数系列公式关系图
5）公式记忆经验：
由于和差化积与积化和差公式都来源于两角的和与差的正弦、余弦公式，观察其特点可知，sin与cos的乘积一定是两个正弦函数的和或差，而sin与sin或cos与cos的乘积一定是两个余弦函数的和或差。
参考文献
[1]高级中学课本-代数(甲种本)第一册.人民教育出版社.1984版.
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