孩子到了高一, 在学*函数的时候, 首先要解决的拦路虎是函数相关问题. 其中尤其是函数的对称性. 高中课本大多以图像的方式来给讲授函数的对称性,本文再次深入的去深度剖析函数的对称性相关的知识:
一:先解决f(x)关于x=a 轴对称的理解过程
核心观点:
一: 若对于函数 f(x)关于直线 x = a 的对称性，我们可以通过以下方程式来描述：
f(x) = f(2a - x)
这个方程式的含义是，对于函数 f(x) 上的任意一点 (x, f(x))，
其关于直线 x = a 的对称点 为: (2a - x, f(2a - x)), 且满足 f(2a-x)=f(x),
为什么p(x,f(x))关于 x=a 的对称点为p'(2a-x,f(2a-x))
你可以联立一个方程即可:
设p'(x',y') 因为关于x=a对称
x+x'/2=a 所以 x'=2a-x
y=y' (纵坐标相等) 即: f(x')=f(x)
于是 f(x)=y=y'=f(x')=f(2a-x)
所有的对称点也在函数f(x)图像上.
证明过程见:函数的对称性公式推导
理解消化:
1.看到任何一个函数说关于x=a(轴对称),直接想到一个方程等式
f(x)=f(2a-x)
2.在学*和考试中,往往不给你f(x)=f(2a-x),而是给你变形
f(x+a)=f(a-x) 这个时候你如何理解,你就用x+a 代替x,代入到方程左右两边去就可以得到.
所以f(x)=f(2a-x) 等价于 f(x+a)=f(a-x)
3.特别的,当a=0,即对称轴是x=0, 代表的其实就是y轴, 这个时候 变成了
f(x)=f(2x0-x)=f(-x), 即f(x)=f(-x).明显这就是偶函数的定义.
对于抽象的东西一定要用方程去解决, 图像知识理解的一个方面,一旦你知道了背后的数学逻辑,即善于用数学的方程来解析事物的时候,你的数学学*能力和水平将会有很大的提高.
二: 举例说明:
三:最后总结:
1.越是抽象的东西,光通过图形去观察,是无法理解本质的规律
2.数学是解决本质规律的工具, 要理解其背后的推理过程
3.对称性,从视觉识别上,很好容易理解,但是需要有严谨的逻辑,善于利用方程或公式来定义
你就能开启学好数学的大门.
轴对称的本质: (x+x')/2=a y=y' f(x')=f(x)
进而推导出:f(2a-x)=f(x) 也等价于:f(x-a)=f(a-x)
四: 关于关注后续的文章:
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